Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also wir haben uns jetzt lange Zeit mit Projektionen beschäftigt, die eine ganz klare geometrische Bedeutung haben.

Insofern haben wir uns mit sehr konkreten Dingen beschäftigt.

Und wir haben gesehen, es gibt auf der einen Seite sozusagen das Natürliche, es sind in gewisser Weise die orthogonalen Projektionen,

aber es gibt auch allgemeinere, es gibt auch Schrägprojektionen.

Und die Frage ist jetzt, können wir die auf einfache Weise unterscheiden?

Und auf der anderen Seite haben wir jetzt gewisse Klassen von Matrizen auf der konkreten Ebene

bzw. Homomorphismen auf der abstrakten Ebene eingeführt, wie z.B. orthogonale, symmetrische, es werden auch weitere dann dazukommen.

Und das Interessante ist, dass wir diese Begriffe zusammenbringen können.

Jetzt muss man noch mal ein bisschen aufpassen mit der Notation.

Die Aussage ist die folgende, wenn ich, das können wir allgemein zeigen, hat auch nichts mit endlicher Dimension zu tun,

wenn ich einen Vektorraum V mit Skalarprodukt habe und darauf eine Projektion,

wenn ich jetzt keine Dimensionseinschränkung mache, muss ich dazu sagen, ich muss wissen, dass die Transponierte dieser Projektion existiert.

Im endlich dimensionalen Fall hatten wir nachgewiesen, dass für jeden Homomorphismus eine Transponierte eindeutig existiert.

Also das ist sozusagen jetzt dieser allgemeinen Situation geschuldet.

Die Aussage ist dann die folgende, diese Projektion ist orthogonal.

Genau dann, und jetzt muss man ein bisschen sozusagen genau hinschauen, damit man nicht mit den Begriffen total in Verwirrung gerät,

die Projektion ist eine orthogonale Projektion, genau dann, wenn sie symmetrisch ist.

Das heißt nicht, dass sie eine orthogonale Abbildung ist, das hatten wir ja diskutiert, eine orthogonale Abbildung ist eben etwas anderes,

dass es eine, die invertierbar ist, wo die Inverse per Definition eben die Transponierte Abbildung ist,

wenn eine orthogonale Projektion ja im Allgemeinen eben nicht invertierbar ist, sondern Dinge eben auf einen kleineren Raum zusammenpackt.

Aber sie kann als Abbildung natürlich symmetrisch sein.

Und die Aussage ist die, wir haben diese Symmetrie, genau dann für eine Projektion, wenn die Projektion orthogonal ist.

Wollen wir uns diesen Beweis mal anschauen?

Also es ist eine Äquivalenz Aussage, wir müssen also wieder zwei Richtungen zeigen, von links nach rechts.

Das heißt, ich muss zeigen, wenn die Projektion orthogonal ist, dann ist sie auch symmetrisch.

Ich muss also zeigen, ich schreihe mal die Symmetrie nochmal hin, Symmetrie heißt ja, wie wir mittlerweile wissen,

gleich sein mit der transponierten Abbildung, das heißt ein Operator, eine Matrix konkret, ist symmetrisch genau dann,

wenn sie sozusagen ohne Veränderung durch das betreffende Skalarprodukt durchwandern kann.

Also diese Aussagen orthogonal und symmetrisch sind immer bezüglich festgewählter Skalarprodukte zu verstehen.

Wenn ich Skalarprodukte ändere, dann ändert sich die Klasse der Linanabbildung, der Matrizen, die diese Eigenschaft hat.

Okay, also was müssen wir jetzt bezüglich dieses gewählten Skalarprodukt zeigen?

Wir müssen zeigen, dass wenn ich mir PV, hier wollten wir einen Punkt machen und kein Komma,

PV im Skalarprodukt mit einem allgemeinen Vektor W anschaue, dann ist das gleiche wie VPW.

Das P wandert einfach unverändert durch. Das ist zu zeigen für alle VW aus diesem Vektoraum.

Da ich jetzt nicht unbedingt auf die endliche Dimension zurückgreifen kann, kann ich jetzt auch nicht das zurückführen,

dass ich das nur für eine Basis zeigen muss. Ich muss das also jetzt für allgemeine Vektoren zeigen.

Aber für allgemeine Vektoren V weiß ich ja, wenn ich V und PV vergleiche, wenn ich die Differenz anschaue,

also den Fehler der Projektion, dann weiß ich nach Voraussetzung ist der im orthogonalen Komplement des Bildes,

was gleichzeitig das Bild der Projektion ist. Das heißt also, wenn ich jetzt mal hier oben anfange loszurechnen mit PVW,

dann kann ich erst einmal das so hinschreiben, wie ich das gerne hätte, das heißt, ich kann die Symmetrie des Skalarproduktes ausnutzen,

kann die Reihenfolge vertauschen und das wiederum ist aber gleich, behaupte ich einfach mal, PVW, PV. Wieso?

Da kann man das begründen, warum diese Gleichheit gilt.

Vielleicht tragen wir das noch mal als eine Gleich-Null-Beziehung, indem wir noch den rechten Anteil auf die linke Seite bringen,

dann haben wir hier einmal im Skalarprodukt W minus PV zu stehen für ein allgemeines Element und dann haben wir ein allgemeines PV zu stehen.

Wir haben also einen Fehler, jetzt hätte ich vielleicht hier W schreiben sollen, weil er jetzt zum Element W ist und nicht zum Element V,

wir haben also einen Fehler, der wird im Skalarprodukt mit einem Element PV genommen. Was bedeutet das gerade?

Genau, der Fehler ist aus U senkrecht und das PV ist aus U, also muss diese Differenz W minus PV im Skalarprodukt mit PV null sein,

also gilt diese Identität. Das ist also jetzt sozusagen, hier geht die Voraussetzung ein. Der Rest ist jetzt einfach noch ein bisschen umordnen,

ich drehe mal wieder die Reihenfolge um und jetzt lasse ich noch mal das P rüber wandern.